休闲数字理论的10个有趣例子

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数学家喜欢以各种方式对数字进行分类和组织。自然数用于计数和排序;名义编号用于命名(例如驾照编号);整数是可以不带小数或小数表示的数字;质数只能被1除以它们本身;等等。但是,我们对数字的理解和使用没有限制。因此,纯数学的一个分支主要基于整数研究,称为“数论”。尽管我们现在已经知道,数论具有无限的应用,用途和目的,但对于毫无意义的观点似乎显得轻描淡写,尤其是称为“娱乐数论”的子集。数论家伦纳德·迪克森(Leonard Dickson)曾经说过:“感谢上帝,数论不受任何应用的影响。”

但这并不意味着它不会为那些如此倾向的人带来书呆子的乐趣。请继续阅读,以了解使数字“有趣”,“怪异”,“快乐”,“自恋”,“完美”等等的原因!

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亲和号码
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啊,友好的数字。他们彼此非常爱。多少?好吧,让我们以284和220为例,看看它们有多友好。让我们采用所有220的适当除数(也就是说,它的所有除数不留余数,包括数字1,不包括数字本身)以及所有这些除数:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

现在,让我们以284做同样的事情:

1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220。

Voila:一对友好的数字。其他对包括(1184、1210),(2620、2924)和(5020、5564)。毕达哥拉斯人发现并研究了这种类型的数字对,这些世纪以来一直是许多研究的主题–费马,笛卡尔,伊朗穆罕默德·巴基尔·亚兹迪和伊拉克·蒂比·本·古拉都是研究过的许多数学家之一友善的世界。进一步研究的主题包括尝试发现是否存在无数对,以辨别模式,并更好地理解这种情况的发生原因和发生方式。

由于数学家永远不会对仅友好的数字感到满意,因此“订婚的数字”是成对的,其中每个数字的适当除数之和等于另一个数字+1。

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埃米尔普
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“ Emirp ”是向后拼写的“素数”一词,它是指素数,当您反转其数字时,它会变成新的素数。突发事件不包括回文质数(例如151或787),也不包括1位数的质数,例如7。前几个行为是13、17、31、37、71、73、79、97、107、113、149和157 –反转它们,您将得到一个新的素数。

通常,一遍又一遍地说“ emirp”是一种冲击。旋转一下!

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有趣的数字
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数学世界中有一个古老的悖论,被称为“ 有趣的数字悖论”。简而言之,如果您继续计算自然数,最终您会遇到一个没意思的东西。令人反感的是,由于它是最小的无趣数字,因此该数字现在变得很有趣。

当然,这都是主观的,因为它依赖于对“有趣”一词的模糊定义。一般来说,如果数字具有某种数学性质使其与众不同,则认为该数字很有趣。19很有趣,因为它是素数; 999很有趣,因为它是回文图(和英国版本的911);24很有趣,因为(除其他原因外)它是最大的数,所有数除其平方根即可除。数学家

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强大的数字
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阿基里斯(Achilles)是一位强大的特洛伊木马战争英雄,他非常强大,但有一个缺陷-他的阿基里斯脚跟。像他一样,阿喀琉斯数字虽然强大但并不完美。

因此,让我们从一个强大的数字开始。如果将所有主要因子平方后都保留为因子,则该数字被认为是有效的。25是一个有力的数字,因为它的一个主要因子5在平方之后就仍然是一个因子(25,一次变为25)。现在让我们进入理想的幂,即可以表示为另一个整数的整数幂的数字;8是完美的幂,因为它是2的立方。

因此,现在回到原始前提–阿喀琉斯数字很强大,但不是完美的力量。72是第一个致命弱点,因为它功能强大,但不是完美的质数。其他包括108、200、288、392、432、500和648。

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怪异的数字
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什么是怪异数字?要理解它们,我们必须首先从“大量”数字开始。大量数字(也称为“过多”)大于其适当除数的总和。例如,第12个,是第一个(最小的)丰富数—它的适当除数的总和1 + 2 + 3 + 4 + 6是16。因此,12的“丰度”为4,即其除数之和超过了该数。甚至有很多丰富的数字,但是直到945才算奇数。

一些丰富的数字是“半完美的”或“伪完美的”,这意味着它们等于其全部或部分适当的除数。12是不完美的大量数字,因为可以将其某些除数加在一起形成12。

最后,我们得出了奇怪的数字。如果数量很多但不是半完美的,这是很奇怪的。换句话说,其除数之和大于数字本身,但是没有除数之和的子集等于该数字。奇怪的数字并不常见-前几个是70、836、4030和5830。

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不可动摇的数字
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尽管怪异的数字不等于它们的任何除数的总和,但是不可触及的数字使它更进一步。要使数字不可触摸,它不能等于ANY数字的适当除数之和。一些不可触摸的是2、5、52和88;实际上,人们认为5是存在的唯一奇数个不可触摸的数字(尽管尚未得到正式证明)。有无数个不可触碰的数字,这意味着不存在最大的数字。
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完美数字
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因此,在讨论了怪异和不可触及的问题之后,是时候与所有与除数有关的适当数字的祖父一起检查了:完美数字。理想数是一个等于其适当除数之和(同样,不包括其自身)的数。第一个完美数字是6,因为其除数(1、2、3)最多为6。六个后跟28、496和8,128。早期的希腊数学家只知道这前4个完全数。Nichomatus到公元100年发现了8,128个。另外三个被发现,一个是约1456年(33,550,336个),一个未知的数学家,另一个是1588年(8,589,869,056和137,438,691,328个),意大利数学家Pietro Cataldi于1588年发现了。

所有已知的完美数都是偶数。尚不清楚奇数素数是否存在或什至是可能的。英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特(James Joseph Sylvester)写道:“……对此问题的长期沉思使我感到满意的是,存在一个[奇数完美的数],即它的存在,逃脱了复杂的条件,使它陷入了四面八方。 -将简直是奇迹。”

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快乐数字
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一些数字很奇怪。别人很高兴。如果要确定给定的数字是否满意,则需要执行以下操作。让我们以数字44为例:

首先,将每个数字平方,然后将它们加在一起:

4 ^ 2 + 4 ^ 2 = 16 + 16 = 32

然后,我们将使用新号码再次执行此操作:

3 ^ 2 + 2 ^ 2 = 9 + 4 = 13

然后再次:

1 ^ 2 + 3 ^ 2 = 1 + 9 = 10

最后:

1 ^ 2 + 0 ^ 2 = 1 + 0 = 1

瞧!这是一个快乐的数字。每当您取一个数字时,执行此“过程”,最后到达数字1,您便拥有一个快乐的数字。如果您的电话号码从未达到1,那么令人遗憾的是,您不满意。有趣的是,快乐的数字非常普遍。例如,其中有11个介于1到50之间。

最后一点,没有重复数字的最大高兴数是986,543,210。确实是一个快乐的数字

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自恋数字

自恋数字,也称为阿姆斯特朗数字或“数字完美变量”,当数字被提高到数字中数字的幂时,紧密地听着它们的数字等于每个数字的总和。

好。什么?让我们以现有的四个自恋多维数据集为例:

153 = 1 ^ 3 + 5 ^ 3 + 3 ^ 3 
370 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 0 ^ 3 
371 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 1 ^ 3 
407 = 4 ^ 3 + 0 ^ 3 + 7 ^ 3

在这些情况下,由于数字中有三个数字,所以将每个数字都转换为立方。然后,将这些立方数字加在一起以产生等于原始数字的总和。没有1位数字的自恋数字,也没有12位或13位的数字。这两个39位数字是:

115132219018763992565095597973971522400和115132219018763992565065097997973971522401。

英国数学家GH Hardy在他的《数学家的道歉》一书中宣称“这些都是奇怪的事实,非常适合拼图专栏,并且很可能使业余爱好者感兴趣,但其中没有任何东西吸引数学家。”他承认这种数字的轻浮性。 ”

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Repdigits和repunits
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纯位数是具有一个重复位的自然数; 该名称实际上来自“重复数字”一词。最著名的手指是所谓的“兽号” 666,它是敌基督者或撒旦的常用符号。那么,repunit是仅使用数字1的repdigit;repunits经常以二进制代码弹出,并且与最著名的素数有关,即Mersenne Primes。据推测,存在无限数量的repunit素数,因此,如果您想尝试证明这一点,请在闲暇时这样做。
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